Избегать, не допускать близких отношений с кем-либо.
В русский язык выражение, видимо, попало из французского «Tenir a distance respectueuse».
В основе оборота — правила дворцового этикета, требующие находиться на расстоянии от особ более высокого происхождения и монархов.
Как и у других фразеологизмов, у выражения «держать на почтительном расстоянии» есть свои синонимы. К ним можно отнести устойчивые выражения:
[Дарданелов] относился к нему в классах строго и требовательно. Но Коля и сам держал его на почтительном расстоянии, уроки готовил отлично, был в классе вторым учеником, обращался к Дарданелову сухо.
Фёдор Михайлович Достоевский. «Братья Карамазовы»
