О чём-нибудь пустячном, не имеющем никакого значения, не заслуживающем внимания, доверия, уважения.

Внутри яичной скорлупы находятся белок и желток.

Именно эти части мы и употребляем в пищу — в сыром, варёном или жареном виде. Частенько с собой в дорогу мы берём именно варёные яйца.

Очевидный факт — что может быть бессмысленнее яйца, которое съели?

То есть, грубо говоря, одна пустая скорлупа, которая не имеет никакой ценности. То, за что жаль отдать даже пустую скорлупу.

Однако фразеологизм характеризует раздутые из ничего ситуации, когда ищут проблем там, где их нет; или чрезмерно хлопочут и переживают о деле, которое само по себе простое, не стоящее стольких переживаний.

А посмотришь, дела-то ваши все вместе выеденного яйца не стоят!

Михаил Евграфович Салтыков-Щедрин. «Помпадуры и помпадурши»