Потерпеть неудачу, остаться без того, на что рассчитывал.

Представьте себе, слово «нос» в данном выражении не имеет отношения к органу обоняния. Оно связано с глаголом «носить» и обозначает, как и когда-то в старину, подношение, подарок.

Если такой подарок несут какому-нибудь ответственному лицу (скажем, судье), от которого зависит решение дела, то он уже будет называться «взяткой».

Однако «взятка» — слово неприятное, если обнаружится, что судья берёт взятки, то он легко может превратиться в подсудимого.

Слова же «подарок», «подношение», «нос» столь неприятных оттенков не имеют.

Так вот, если вы принесли слишком маленький подарок (нос), то судья, обидевшись, может его не взять, и тогда дело вряд ли решится в вашу пользу. Вот тут-то вы и останетесь с носом, то есть со своим отвергнутым подношением и явной неудачей в делах.

«Нос» — это и «подарок, выкуп», который, по древнему обычаю, жених подносил родителям невесты. Если подарок возвращали, значит, отказывали жениху, и он «оставался с носом».

С их курса её [Майю Якутину] любили четыре парня: все остались с носом. На последнем курсе Майя вышла замуж за какого-то… физика.

Василий Макарович Шукшин. «Страдания молодого Ваганова»