Наступило облегчение, рассеялись тревоги, сомнения (обычно после избавления от трудных забот, обязанностей).

Значение данного оборота речи очевидно: он означает избавление от какой-либо неприятности и проблемы. Человек избавляется от тяжелого бремени проблем и испытывает большое облегчение.

Гора с плеч у кого? у отца, у абитуриента, у студента... как гора с плеч свалилась; как гора с чьих? с моих, с наших... плеч свалилась.

В некоторых случаях оправдано применение устойчивого словосочетания и в другом смысле. Многие люди говорят, что «гора с плеч свалилась» не только тогда, когда проблема решилась. В некоторых случаях словосочетание характеризует и скорость разрешения ситуации.

В этом смысле слово «гора» означало проблемы, посланные свыше. От них очень трудно было избавиться, ведь они имеют неведомый обычному человеку характер.

Плечи всегда символизировали самого человека. В славянской культуре они всегда были тождественны пониманию силы и мощи. Впрочем, ещё древние греки взваливали небо на плечи своих атлантов. Поэтому неудивительно, что и в культуре наших предков плечи играли такое же серьёзное значение.

Считалось, что если человек берёт на себя какие-либо обязательства, то они обязательно становятся бременем именно на его плечах.

Поэтому во времена Древней Руси сформировался фразеологизм «гора с плеч», который остаётся в неизменном виде до сих пор.

— А я... поздравьте... вольная птица! — начал он как-то сразу и, повернувшись в кресле, сделал рукой в воздухе какой-то удивительно легкомысленный жест, как будто и в самом деле у него гора с плеч свалилась.

Михаил Евграфович Салтыков-Щедрин. «Письма к тётеньке»