Чрезмерно усердствовать в
чём-либо; допускать крайности в делах, поступках.
Перегнуть палку — впасть в крайность, переусердствовать в
Скорее всего, выражение пошло из речи ремесленников, занимающиеся изготовлением дуг для конской упряжи.
Сначала палки для дуг распаривали, а потом осторожно сгибали. При этом нужно было тщательно регулировать усилие, иначе, если согнуть палку слишком быстро (перегнуть), она сломается.

Начальника блюминга Становский снял и перевёл старшим мастером на колодцы, чтобы впредь другим неповадно было… — Становский перегибает палку и тем самым разоблачает себя.
Владимир Фёдорович Попов. «Сталь и шлак»
ПЕРЕГИБА́ТЬ (ПЕРЕГНУ́ТЬ) ПА́ЛКУ
Чрезмерно усердствовать в