Чрезмерно усердствовать в чём-либо; допускать крайности в делах, поступках.

Перегнуть палку — впасть в крайность, переусердствовать в чём-либо (в каких-либо требованиях, в выполнении чего-либо), то есть принимать неоправданно жёсткие меры для решения каких-то вопросов.

Скорее всего, выражение пошло из речи ремесленников, занимающиеся изготовлением дуг для конской упряжи.

Сначала палки для дуг распаривали, а потом осторожно сгибали. При этом нужно было тщательно регулировать усилие, иначе, если согнуть палку слишком быстро (перегнуть), она сломается.

Начальника блюминга Становский снял и перевёл старшим мастером на колодцы, чтобы впредь другим неповадно было… — Становский перегибает палку и тем самым разоблачает себя.

Владимир Фёдорович Попов. «Сталь и шлак»