Быть в угрожающем положении, быть близким к гибели, к концу, находиться в опасности, риск очень велик.

Восходит к древнегреческому мифу. Царь Дионисий Старший посадил завистника Дамокла во время пира на своё место.

Среди веселья Дамокл вдруг заметил, что прямо над его головой на конском волосе висит острием вниз тяжёлый меч, готовый сорваться в любой момент.

Тогда он понял, что счастливая жизнь властителей всегда сопряжена со смертельной опасностью.

Экспрессивное выражение, которое употребляют с существительными со значением лица или отвлечённого предмета: ученик, подросток, жизнь, благополучие… висит на волоске.

ВИСЕТЬ НА ВОЛОСКЕ кто?, что? — находиться в крайне опасном положении. Подразумевается, что, с точки зрения говорящего, кто-либо оказался в угрожающей для его жизни, дел или планов ситуации.

Имеется в виду, что жизнь, благосостояние, результаты труда, любовь, дружба близки к краху, срыву, смерти. В роли сказуемого, а порядок слов-компонентов нефиксируемый.

Поминутно думаю: что за странная и страшная вещь наше существование — каждую секунду висишь на волоске!

Иван Алексеевич Бунин. «Воды многие»