Живут, общаются недружно, постоянно ссорясь.

Применяется в отношении каких-либо людей, которые живут не в мире и согласии, а в постоянных распрях, скандалах, ссорах.

Достаточно вспомнить кошку, загнанную на дерево собакой и шипящую оттуда, в то время, как её загонщик громко лает внизу, пытаясь согнать кошку с дерева.

Есть сказки, в которых рассказывается, как когда-то кошка с собакой жили мирно, но вот кошка сделала что-то плохое, за что собака не может её до сих пор простить и каждый раз, встретив её на своём пути, пытается прогнать прочь громким лаем.

Ей, впрочем, было иногда жаль Юлии, но, по размышлении, она постоянно доходила до той мысли, что часто и по страсти женившиеся живут, как кошка с собакой.

Алексей Феофилактович Писемский. «Тюфяк»