Попусту болтать, врать.
Человеку, который начал врать, можно сказать так: «Мели, Емеля, — твоя неделя!».
Это означает примерно следующее: «Ну, пошёл врать — теперь не остановишь! Твоей болтовне никто всё равно не поверит!».
В этом фразеологизме сплелось очень много разных языковых «ни́точек». Одна идёт из выражений «молоть чепуху», «молоть языком» — безостановочно, как мелют муку жернова мельницы.
Выражение «молоть зерно» комически сопоставлялось с выражением «молоть языком», то есть «говорить чепуху».

Другая связывает имя Емеля, известное по сказкам, как имя для удачливого героя-дурачка, ещё и со словом пустомеля — болтун.
Имя Емеля выбрано по ассоциации с русской сказкой о Емеле-дурачке: надумал он смолоть остатки колосьев после молотьбы и напечь из этой муки лепешек. Емеля — лентяй и врун — много говорил об этом, но мало делал.

Третья через слово «неделя».
В старину в больших крестьянских семьях было принято понедельно чередовать домашнюю работу: эту неделю один колет дрова, другой — таскает воду, следующую — наоборот. Поочередно мололи и муку на домашнем жёрнове.
Ухаживать за домашним скотом, готовить еду, убираться — все эти занятия женщины распределяли между собой на предстоящие недели.
Молоть зерно жерновами тоже было занятием женским, поэтому в выражении про Емелю есть ещё скрытая насмешка: он занимается неподобающим для мужчины делом.
Поэтому болтунам, отлынивавшим от всякого труда, говорили: «Мели, Емеля, твоя неделя», впоследствии людям, нёсшим вздор, просто говорили: «Мели, Емеля», подчёркивая тем самым, что не верят говорящему.
Похожие выражения:

— На него яростно нападали: Мели, Емеля, твоя неделя! Надо дураком быть, чтобы украсть и спрятать на своём гумне.
Фёдор Васильевич Гладков. «Повесть о детстве»
