Кое-как, без особого усердия и старательности делать что-то.

Выражение происходит от буквального словосочетания «спустить рукава», то есть не заворачивать их вверх; в подобном положении не всегда удобно работать.

В Древней Руси люди носили одежду с длинными рукавами, спускавшимися гораздо ниже кисти руки. Работать в такой одежде было крайне неудобно, рукава приходилось засучивать.

Признаком благополучия в древности у бояр были меховые шубы. Рукава таких шуб были почти до пола — это было знаком того, что человек богат и ему не нужно работать.

Когда же, таким боярам нужно было всё-таки что-то сделать, они долго засучивали эти свои рукава.

Поэтому и появилось в языке выражение, которым обозначают усердную, прилежную работу — засучив рукава.

Ну а если человек ленится, работает с неохотой, то про него говорят, что он всё делает спустя рукава.

3анимaлась Мария спустя рукава, лишь бы не докучали родители, ухитряясь улизнуть в город или на танцы.

Владимир Емельянович Максимов. «Карантин»