Хитрить, лукавить, стараясь обмануть, провести кого-либо или друг друга, или просто прятаться.

Всем хорошо известна детская игра «кошки-мышки», в которой один из участников («кошка») ловит другого («мышку»), а остальные, образовав круг, мешают этому.

В выражении «играть в кошки-мышки» отражены не непосредственные отношения кошки с мышкой, а те, что возникают во время игры.

По другой версии, в выражении воспроизводится чисто житейское наблюдение: кошка, перед тем как съесть мышку, долго играет с ней.

Отсюда можем прийти к выводу о следующем значении: соревноваться с заведомо неравными партнёрами.

— Спасибо тебе, Павел Игнатьевич, что в кошки-мышки со мной не играл! Я тебе тоже прямо всё объявляю. Ты по чести, по совести. И я тоже.

Николай Николаевич Никитин. «Северная Аврора»