Быть очень требовательным, принципиальным; не прощать кому-либо, не оставлять без возмездия проступки, вредные действия.

Выражение собственно русское, возникло в результате разложения глагола (НЕ) СПУСКАТЬ «(не) прощать» на словосочетание (НЕ) ДАВА́ТЬ СПУСКУ.

Фразеологизм «Не давать спуску» произошёл от стиля управления лошадьми у наших предков.

Если поводья натягивают крепко, управляют строго — то даже норовистые животные, как правило, утихомириваются и слушаются человека.

То же самое происходит и с людьми. Иногда, чем строже с ними обращаешься, тем доходчивее для них становится информация, тем лучше результаты от любого вида деятельности.

— Говорят, ты никому спуску не даёшь.
— Должность свою справляю, — отвечал он угрюмо: — даром господский хлеб есть не приходится.

Иван Сергеевич Тургенев. «Бирюк»