Совершенно искренне, откровенно, чистосердечно.

Выражение, скорее всего, является переводным с немецкого «Hand aufs Herz» или французского языка «La main sur son coeur» и связано с жестом прикладывания руки к груди, к сердцу.

Этот жест служил своего рода клятвой в искренности, истинности высказываний или действий. И сегодня иногда можно увидеть этот жест в доказательство неопровержимости сказанного.

«ПОЛОЖА» — это архаичная (устаревшая) форма деепричастия (современная форма деепричастия совершенного вида — положив).

Как и у других фразеологизмов, у выражения «Положа руку на сердце» есть свои синонимы: без утайки, в лоб, впрямую, искренне, как на духу, как перед богом, начистоту, от всей души, с чистой душой, с чистым сердцем, со всей откровенностью, чистосердечно

Мы можем сказать честно, положа руку на сердце: эту страну интересно наблюдать, но жить в ней не хочется.

Илья Ильф, Евгений Петров. «Одноэтажная Америка»