Пытаться, стараться выполнять сразу много дел, поручений.

Выражение является переводом французского оборота «Se mettre en quatre» — «вылезти из кожи вон; расшибиться в лепёшку».

Первоначально словосочетание обозначало: предан настолько, что даст разорвать себя на части.

А теперь, это означает, выполнять одновременно слишком много различных обязанностей, дел.

Несколько десятин было под картофелем и свеклой. Здесь требовались полка и окучивание, и нам поэтому приходилось разрываться на части. В это время в колонии было уже шестьдесят колонистов.

Антон Семёнович Макаренко. «Педагогическая поэма»